剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和-动态规划法

剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

假设 nums\textit{nums}nums 数组的长度是 nnn，下标从 000 到 n−1n-1n−1。

我们用 f(i)f(i)f(i) 代表以第 iii 个数结尾的「连续子数组的最大和」，那么很显然我们要求的答案就是：

max⁡0≤i≤n−1{f(i)}\max_{0 \leq i \leq n-1} { f(i) } 0≤i≤n−1max​{f(i)}

因此我们只需要求出每个位置的 f(i)f(i)f(i)，然后返回 fff 数组中的最大值即可。那么我们如何求 f(i)f(i)f(i) 呢？我们可以考虑 nums[i]\textit{nums}[i]nums[i] 单独成为一段还是加入 f(i−1)f(i-1)f(i−1) 对应的那一段，这取决于 nums[i]\textit{nums}[i]nums[i] 和 f(i−1)+nums[i]f(i-1) + \textit{nums}[i]f(i−1)+nums[i] 的大小，我们希望获得一个比较大的，于是可以写出这样的动态规划转移方程：

f(i)=max⁡{f(i−1)+nums[i],nums[i]}f(i) = \max { f(i-1) + \textit{nums}[i], \textit{nums}[i] } f(i)=max{f(i−1)+nums[i],nums[i]}

不难给出一个时间复杂度 O(n)O(n)O(n)、空间复杂度 O(n)O(n)O(n) 的实现，即用一个 fff 数组来保存 f(i)f(i)f(i) 的值，用一个循环求出所有 f(i)f(i)f(i)。考虑到 f(i)f(i)f(i) 只和 f(i−1)f(i-1)f(i−1) 相关，于是我们可以只用一个变量 pre\textit{pre}pre 来维护对于当前 f(i)f(i)f(i) 的 f(i−1)f(i-1)f(i−1) 的值是多少，从而让空间复杂度降低到 O(1)O(1)O(1)，这有点类似「滚动数组」的思想。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

int maxSubArray(int* nums, int numsSize){
    
   int dp[numsSize+1];
   dp[0]=0;
   int i;
   int max=-99;
   for(i=1;i<=numsSize;i++){
    
       dp[i]=fmax(dp[i-1]+nums[i-1],nums[i-1]);
       if(dp[i]>max){
    
           max=dp[i];
       }
    // printf("%d ",dp[i]);
   }
    return max;

}