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【7.13】代码源 -【饿饿饭饭】【路径计数2】【函数求和】

2022-07-17 18:28:00 【ZhgDgE】

#463. 饿饿饭饭

题意：有 $n(n\leq 10^5)$ 个同学正在排队打饭，第 $i$ 个同学排在从前往后第 $i$ 个位置。但是这天食堂内只有一个食堂阿姨，为了使同学们都能尽快的吃上饭，每一个同学在打完一份饭之后就会排在队伍的末尾先吃着打到的饭，我们知道第i个同学的饭量为 $a_i$ ，也就是说第i个同学要吃 $a_i$ 份饭才能吃饱，当一位同学吃饱后，他就会立刻离开食堂，不会排在队伍的末尾。食堂阿姨想知道，在打完 $k$ 份饭之后，队伍的样子是怎样的，但是食堂阿姨数学不太好，想让你帮忙想想办法。

思路：二分一下会完整的走过几轮。二分出来之后，把仍在食堂的学生挑出来，模拟 $k^{'}$ 次即可。

AC代码：http://oj.daimayuan.top/submission/286216

#467. 路径计数2

题意：有一个 $n\times n(1\leq n\leq 10^6)$ 的网格，有些格子是可以通行的，还有 $m(m\leq 3000)$ 个格子是障碍。

一开始你在左上角的位置，你可以每一步往下或者往右走，问有多少种走到右下角的方案。

由于答案很大，输出对 $10^9+7$ 取模的结果。

题解：(动态规划) 有障碍的路径计数 (代码源每日一题Div1)

思路：去枚举每一个格子肯定是不行的，我们可以考虑只枚举障碍，看是否能计算出答案。

我们定义 $d p (i)$ 为从起点走到第 $i$ 个障碍而不经过其他障碍的路径数量，把终点当作最后一个障碍，记得得出答案。怎么递推呢？可以用容斥的思想，我们容易知道知道起点走到某障碍 $(x, y)$ 的路径数量（不考虑其他障碍）为 $C_{x-1+y-1}^{x-1}$ ，那么需要计算出至少经过一个障碍的路径数量并减去。对于这种路径，我们按照路径第一个经过的障碍编号来分类，假如可能经过 $m$ 个障碍，那么第一个经过障碍 $j$ 的路径数量为 $dp(j)\times C_{x_j-x_i+y_j-y_i}^{x_j-x_i},j\in[1,m]$ 。

AC代码：http://oj.daimayuan.top/submission/286311

#468. 函数求和

题意： $n\leq 100,k\leq 60$ 在这里插入图片描述

思路：考虑枚举 $i = f (x)$ 来计算有多少个 $x$ 使得 $f (x) = i$ 。要使得 $a_i\&x\ne a_i$ ，需要 $a_i$ 为一的位上 $x$ 至少有一位是 $0$ 。那么我们初始有一个长度为 $k$ 的二进制数，每一位初始都是 $*$ 即自由态。我们遇到 $a_i$ 时，设 $m o d$ 为 $a_i$ 为 1 且 $x$ 为 $*$ 的位数， $nm o d$ 为 $a_i$ 为 0 且 $x$ 为 $*$ 的位数。

我们要使得 $a_i$ 为 1 的位上 $x$ 至少有一位是 $0$ ，那么可以把 $2^{mod+nmod}$ 这剩下的数量分类为 $(2^{mod}-1)\times 2^{nmod}$ 和 $2^{nmod}$ ，前者是对应 $a_i$ 位上至少一位是 0 的个数，剩下的则是对应 $a_i$ 位上全部是 1 的个数。然后把 $m o d$ 对应位从 $*\rightarrow1$ 即可。