牛客2021暑期训练4-E-Tree Xor

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题意

给定一棵树，节点有权值 $w[i]$ 且 $w[i]\in [l_i,r_i]$，相连节点权值异或已知，求满足的权值组数

题解

先令 $w[1]=0$, 解出剩下的 $w$，之后可以发现, 如果要 $w[1]=a$, 那么剩下的 $w$ 都会 $xor$ 上 $a$

所以就变成了求解合法的 $a$ 的数量, 限制有 $n$ 个不等式, 形式为 $l[i]<=w[i]xora<=r[i]$

因此 $a$ 的取值也就相当于 $[l_i,r_i]$ 中每个数都和 $w[i]$ 取 $xor$，然而区间中每个数和 $w[i]$ 异或得到的区间是不连续的，所以关键就是将 $[l_i,r_i]$ 分成若干区间使得每个区间中的数和 $w[i]$ 异或得到的值仍然是连续的

对 $[8,15]->[...001000,...001111{]}_{2}xorX$ 可以将 $X$ 分为前一部分异或和后 $3$ 位异或，可以知道，前一部分异或得到的是不变的，后 $3$ 位异或得到的一定是不同的，也就是说，后 $3$ 位仍然会是 $000,001,010,...,111$，结合代码、自己写写加深理解

所以对 $[l_i,r_i]$ 将它分成的区间就是这种形式的 $(1<<(k-1),1<<k)$

异或后，一个区间会分成不相交的若干区间，差分求并

具体见代码

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define PR pair<int,int>
#define Fi first
#define Se second
#define Mp make_pair
#define Pb push_back
using namespace std;
const int N=1e5+9;
int n;
int L[N],R[N],W[N];
vector<PR>e[N],sol,ans;
void dfs(int u,int fa) //求当w1=0时，各节点的w 
{
    
	for(int i=0;i<e[u].size();i++)
	{
    
		int v=e[u][i].Fi,w=e[u][i].Se;
		if(v==fa) continue;
		W[v]=W[u]^w;
		dfs(v,u);
	}
}
void Putin(int l,int r,int k,int z)
{
    
	int tz=z&(((1<<30)-1)^((1<<k)-1)); //取出z大于k位的1 
	sol.Pb(Mp(l^tz,(l^tz)+(1<<k)-1)); //[l,r]^z后为[l^z,l^z+len] 
}
void Work(int l,int r,int k,int x,int y,int z)
{
    
	if(x<=l&&r<=y)
	{
    
		Putin(l,r,k,z);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid) Work(l,mid,k-1,x,y,z);
	if(y>mid) Work(mid+1,r,k-1,x,y,z);
}
int Solve() //求区间并 
{
    
	for(int i=0;i<sol.size();i++) //用的差分 
	{
    
		ans.Pb(Mp(sol[i].Fi,1));
		ans.Pb(Mp(sol[i].Se+1,-1));
	}
	sort(ans.begin(),ans.end());
	//一个区间xor后分成互不相交的几个区间，覆盖为n时必然有以下关系 
	int tot=0,cnt=0;
	for(int i=0;i<ans.size();i++)
	{
    
		cnt+=ans[i].Se;
		if(cnt==n) tot+=ans[i+1].Fi-ans[i].Fi;
	}
	return tot;
}
int main()
{
    
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&L[i],&R[i]);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
    
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		e[u].Pb(Mp(v,w));
		e[v].Pb(Mp(u,v));
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		Work(0,(1<<30)-1,30,L[i],R[i],W[i]);
	printf("%d\n",Solve());
	return 0;
}