归并排序(mergesort)以O(N logN)最坏情形时间运行，而所使用的比较次数几乎是最优的。

算法描述

这个算法的基本操作是合并两个已排序的表。因为这两个表是已排序的，所以若将输出放到第3个表中，则该算法可以通过对输入的一趟排序来完成。基本的合并算法是取两个输入数组A和B，一个输出数组C，以及3个计数器Actr, Bctr, Cctr，它们初始置于对应数组的开始端。A[Actr] 和 B[Bctr] 中的较小者被复制到C中的下一个位置，相关的计数器向前推进一步。当两个输入表有一个用完的时候，则将另一个表中剩余部分复制到C中。

如果N=1，那么只有一个元素需要排序，答案是显然的。否则，递归地将前半部分数据和后半部分数据各自归并排序，得到排序后的两部分数据，然后使用上面描述的合并算法再将这两部分合并到一起。该算法是经典的分治(divide-and-conquer)策略，它将问题分(divide)成一些小的问题然后递归求解，而治(conquer)的阶段则将分的阶段解得的各答案修补在一起。分治是递归非常有效的用法，后面会多次用到。

一个简单例子

数组A含有1、13、24、26，数组B含有2、15、27、38，那么该算法进行如下：

首先，比较在1和2之间进行，1 被添加到C中，然后13和2进行比较。

2 被添加到 C 中，然后 13 和 15 进行比较。

13 被添加到C中，接下来比较 24 和 15，这样一直进行到 26 和 27 进行比较。

将 26 添加到C中，数组A已经用完。

然后将数组B的剩余部分复制到C中。

至此，合并算法结束，结果存储在数组C中。

归并排序的分析

假设N是2的幂，则可以将它分裂成相等的两部分。对于N=1，归并排序所用时间是常数，将其记为1。否则，对N个数归并排序的用时等于完成两个大小为N/2的递归排序所用时间再加上合并的时间，后者是线性的。即

这是一个标准的递推关系，将其求解，得

虽然归并排序的运行时间是(N log N)，但它有个明显的问题，即合并两个已排序的表用到线性附加内存。在整个算法中还要花费将数据复制到临时数组载复制回来这样一些附加的工作，它明显减慢了排序的速度。这种复制可以通过在递归的那些交替层次上审慎地交换a和tmpArray的角色得以避免。归并排序的一种变形也可以非递归地实现。

与其他的O(N log N)排序算法比较，归并排序的运行时间严重依赖于比较元素和在数组(以及临时数组)中移动元素的相对开销，这些开销与语言相关。

实现代码

//归并排序算法（驱动程序）
template<typename Comparable>
void mergeSort(vector<Comparable>& a)
{
    
	vector<Comparable> tmpArray(a.size());
	mergeSort(a, tmpArray, 0, a.size() - 1);
}
/** * 进行递归调用的内部方法 * a为Comparable项的数组 * tmpArray为放置归并结果的数组 * left为子数组最左元素的下标 * right为子数组最右元素的下标 */
template<typename Comparable>
void mergeSort(vector<Comparable>& a, vector<Comparable>& tmpArray, int left, int right)
{
    
	if (left < right) {
    
		int center = (left + right) / 2;
		mergeSort(a, tmpArray, left, center);
		mergeSort(a, tmpArray, center+1, right);
		merge(a, tmpArray, left, center + 1, right);
	}
}
/** * 合并子数组已排序两半部分的内部方法 * a为Comparable项的数组 * tmpArray为放置归并结果的数组 * leftPos为子数组最左元素的下标 * rightPos为后半部分起点的下标 * rightEnd为子数组最右元素的下标 */
template<typename Comparable>
void merge(vector<Comparable>& a, vector<Comparable>& tmpArray, int leftPos, int rightPos, int rightEnd)
{
    
	int leftEnd = rightPos - 1;
	int tmpPos = leftPos;
	int numElements = rightEnd - leftPos + 1;

	//主循环
	while (leftPos <= leftEnd && rightPos <= rightEnd)
		if (a[leftPos] <= a[rightPos])
			tmpArray[tmpPos++] = std::move(a[leftPos++]);
		else
			tmpArray[tmpPos++] = std::move(a[rightPos++]);

	while (leftPos <= leftEnd) //复制前半部分的剩余元素
		tmpArray[tmpPos++] = std::move(a[leftPos++]);

	while (rightPos <= rightEnd) //复制后半部分的剩余元素
		tmpArray[tmpPos++] = std::move(a[rightPos++]);

	//将tmpArray复制回原数组
	for (int i = 0; i < numElements; ++i, --rightEnd)
		a[rightEnd] = std::move(tmpArray[rightEnd]);
}