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芝诺悖论2 阿基里斯与乌龟

2022-07-17 00:12:00 【sun_xo】

前两天看到吴军介绍芝诺及其悖论的文章，其中关于其中第二个悖论，据说曾经难倒过亚里斯多德，这倒令我想起一件往事：
这个悖论可以这样描述：
古希腊英雄阿基里斯与乌龟赛跑，乌龟的速度为v，阿基里斯的速度是乌龟的m倍，令乌龟先跑出一段距离d后比赛开始，当阿基里斯前进距离d后，
同期乌龟前进d/m，当阿基里斯又前进d/m后，同期乌龟又前进d/m^2，以此类推，因为距离可以无限细分，结果是阿基里斯永远追不上乌龟。
这个问题乍看非常荒谬，它显然违背我们的常识，连小学生都知道这是个简单的追击问题，其解法如下：　
　　1) m*v*t = d+v*t
　　2) m*v*t - v*t = d
　　3) (m-1)*v*t = d
　　4) t = d/((m-1)*v)
最后得到的t是阿基里斯追上乌龟所需的时间。
这个解法本身虽然没问题，但绝不是正面解决方案，我想芝诺老先生泉下有知，肯定不会被说服的。有一次闲聊中我聊起这个话题，结果有一哥们儿
立即指出这是一个无穷小数求和的问题，并且当场给出正面解决这个悖论的方法：
设s等于比赛开始后阿基里斯追上乌龟（假如能够追上的话）时乌龟前进的距离，t为阿基里斯追上乌龟所需的时间,则：
　　1) s = d/m + d/m^2 + d/m^3 + ... + d/m^n
　　2) s/d = 1/m + 1/m^2 + 1/m^3 + ... + d/m^n
　　3) m*s/d = 1 + 1/m + 1/m^2 + 1/m^3 + ... + d/m^n
　　4) m*s/d - s/d = 1
　　5) s*(m-1)/d = 1
　　6) s = d/(m-1)
　　7) t = s/v = d/((m-1)*v)
这就是正解，其实也没有用到什么高深的数学知识，其中关键是2和3之间变换，这两个式子相减得到第4步，颇为精彩。最终答案和追击问题的得到
的答案一样。想必这回芝诺应该无话可说了吧。
顺便说一句，我的这位朋友也并非很了不起的学霸，只是那时他大学刚毕业，还记得这些知识。当他写出答案时，我一方面十分钦佩，一方面也有似
曾相识的感觉，也许我以前也曾经学过这些，但是早已还给学校了，怪不得人常说一个人智力的高峰期就是他的高中和大学时期。
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