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二阶边缘检测 - Laplacian of Guassian 高斯拉普拉斯算子

2022-07-17 00:10:00 【elkluh】

一、拉普拉斯算子

二、高斯拉普拉斯算子

三、一阶、二阶导数的区别

一、拉普拉斯算子

拉普拉斯算子相当于对像素进行二阶导数。

一阶求导 $f'(x) = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ （1）

$f'(x+\Delta x) = \frac{f(x+2\Delta x)-f(x+\Delta x)} { \Delta x}$ （2）

二阶求导 $f''(x+\Delta x) = \frac {f'(x+\Delta x) - f'(x)}{\Delta x}$ （3）

$f''(x+\Delta x) =\frac{ f(x+2\Delta x) - 2f(x+\Delta x)+f(x)}{\Delta x}$ （4）

算出来高斯算子的模板是这样的：

它的优点是简单，但是容易受到噪声的影响。

二、高斯拉普拉斯算子

二阶边缘检测可以叫做，高斯的拉普拉斯，也可以叫做马尔算子(Marr Hildreth)。

因为高斯方程有平滑的效果，所以高斯拉普拉斯也有，因此它对噪声不敏感。

高斯方程去掉常数项为：

$g(x,y) = e^{ \frac{ -(x^{2}+y^{2})}{ 2\sigma^{2}}}$ （5）

x的一阶偏导为：

$\frac{\partial g}{\partial x}=-\frac{x}{\sigma^{2}}e^{\frac{ -(x^{2}+y^{2})}{2\sigma^2}}$ （6）

x的二阶偏导为：

$\frac{\partial g}{\partial x^{2}}= \frac{1}{\sigma^{2}}( \frac{x_{2}}{\sigma ^{2}}-1) e^{ \frac{-(x^{2}+y^{2})}{2\sigma^2}}$ （7）

y的一阶偏导为

$\frac{\partial g}{\partial y}=-\frac{y}{\sigma^{2}}e^{\frac{ -(x^{2}+y^{2})}{2\sigma^2}}$ （8）

y的二阶偏导为

$\frac{\partial g}{\partial^{2}}= \frac{1}{\sigma^{2}}( \frac{y_{2}}{\sigma ^{2}}-1) e^{ \frac{-(x^{2}+y^{2})}{2\sigma^2}}$ （9）

根据（7）（9）我们能得到

$\triangledown g^{2}(x,y,\sigma) = g''(x) + g''(y)=\frac {e^{\frac{-(x^{2}+y^{2})}{2\sigma^{2}}}} {\sigma^{2}} (\frac{x^{2}+y^{2}}{\sigma^{2}}-2)$ (10)

把（10）化简， $e^{\frac{-(x^{2}+y^{2})}{2\sigma^2}} (\frac{x^2+y^2}{\sigma^4}-\frac{2}{\sigma^2})$

$LoG=e^{\frac{-(x^{2}+y^{2})}{2\sigma^2}} \frac{(x^2+y^2-2\sigma^2)}{{\sigma^4}}{\frac{1}{2\pi \sigma^2}} = -\frac{1}{\pi\sigma^4}(1-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}) e^{\frac{-(x^{2}+y^{2})}{2\sigma^2}}$