数学基础课2_欧拉函数,线性筛,扩欧

欧拉函数

$\varphi (n)$ 表示 $1\sim n$ 中与 $n$ 互质的数的个数。

$N=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}{p}_3^{{\alpha }_3}...p_k^{{\alpha }_k}$

$\varphi (n)=N(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})$

利用容斥原理推导。

有一个实现的细节。 $N\ast (1-\frac{1}{n})=N\ast (\frac{n-1}{n})=N/n\ast (n-1)$

#include <iostream>
using namespace std;
int phi(int x){
    
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0){
    
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}
int main(){
    
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- ){
    
        int x;
        cin >> x;
        cout << phi(x) << endl;
    }
    return 0;
}

1. 用公式求N个数的欧拉函数 $O(N\sqrt{k})$

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int p[N],cnt[N];

long long f(int n){
    
    long long res=n;
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
    
        if(n%i==0){
    
            res=res/i*(i-1);
            while(n%i==0){
    
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)
	    res=res/n*(n-1);
    return res;
}
int main(){
    
    int n;cin>>n;
    while(n--){
    
        int a;cin>>a;
        cout<<f(a)<<endl;;
    }
    return 0;
}

2.线性筛$1\sim n$ 中每一个数的欧拉函数 $O(n)$

线性筛可以求很多数论函数

当 $i$ 是质数的时候，$phi(i)=i-1$ 。

当 $i$ 不是质数的时候：

1. 当 $i\%pre[j]==0$ ， $pre[j]是i\ast pre[j]的最小质因子$，又因为 $i$ 中包含质因子 $pre[j]$ 。

$phi(n)$ 只和 $n$ 分解出的质数有关，和质数的指数无关，所以 $phi[i\ast pre[j]]=pre[j]\ast phi[i]$。

2. 当 $i\%pre[j]!=0$ ，$pre[j]$ 是比 $i\ast pre[j]$ 的最小质因子还要小的质因子，所以：

$phi(i\ast pre[j])=phi(i)\ast pre[j]\ast (1-\frac{1}{pre[j]})=phi[i]\ast (pre[j]-1)$

int pre[N],cnt,n;
int phi[N];//求1~n中每个数的欧拉函数 
bool st[N];

void get_euler(int n){
    
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
    
		if(!st[i]){
    
			pre[cnt++]=i;	
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=0;pre[j]<=n/i;j++){
    
			st[i*pre[j]]=1;
			if(i%pre[j]==0){
    
				phi[i*pre[j]] = pre[j] * phi[i];
				break;	
			}
			phi[i*pre[j]] = phi[i] * (pre[j]-1);
		}
	}
}

欧拉函数的应用

欧拉定理：若 $a$ 与 $n$ 互质，则 $a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)$

剩余系？

证明欧拉定理：

前置知识：a和b互质，c和b互质，a * c和b互质

$1\sim n $ 中 有 $phi(n)$ 个数和 $n$ 互质，$a_1,a_2,...,a_{phi(n)}$

所以的 $a_i$ 乘 $a$ 有：$a_1\ast a,a_2\ast a,...,a_{phi(n)}\ast a$ ，这些数也和 $n$ 互质。

又因为这些数两两不同，且与 $n$ 互质的个数只有 $phi(n)$ 个，所以上边的两组是在模 $n$ 意义下是相等的。

​ 证明为什么第二组数在模 $n$ 的意义下两两不同。

​ 反证：假设 $a_i,a_j$ 在模 $n$ 的意义下是相等的有：

$a\ast a_i\equiv a\ast a_j(modn)$

$a\ast (a_i-a_j)\equiv 0(modn)$

又因为 $a$ 和 $n$ 是互质的(大条件)，所以有 $a_i-a_j\equiv 0(modn)$ 与1式子矛盾，得证。

#####欧拉定理的特例：费马定理：当 $n$ 是质数，且 $a$ 与 $n$ 互质的时候 $a^{n-1}\equiv 1(modn)$

两组数的乘积在模 $n$ 的意义下是相等的。乘起来化简就证明了欧拉定理。

欧拉定理的推论

若正整数 $a$ , $n$ 互质，则对于任意正整数 $b$ , 有 $a^b\equiv a^{bmod\varphi (n)}mod(n)$

蓝书上给出了精简的证明：

$b=q\ast (\varphi (n))+r$ , $0\le r<\varphi (n)$ ，有：

$a^b\equiv a^{q\ast (\varphi (n))+r}\equiv a^{\varphi (n{)}^q}\ast a^r\equiv 1^q\ast a^r\equiv a^r\equiv a^{bmod\varphi (n)}mod(n)$

特别的，如果 $a$ 和 $n$ 不互质，当 $b>\varphi (n)$ 时，有 $a^b\equiv a^{bmod\varphi (n)+\varphi (n)}mod(n)$

逆元

若 $b$, $m$ 互质，$b|a$，$\frac{a}{b}\equiv a\ast x(modn)$

$\frac{a}{b}\equiv a\ast b^{-1}(modn)$

$x$ 叫做 $b$ 模 $n$ 的乘法逆元。记作 $b^{-1}$(是个整数)

证明：

发现了盲点！ 费马小定理有两种表述方式：

当 $n$ 是质数，且 $a$ 与 $n$ 互质的时候 $a^{n-1}\equiv 1(modn)$

当 $n$ 是质数，则对于任意整数 $a$ , 有 $a^n\equiv a(modn)$

原理很简单，当 $a$ 与 $n$ 互质的时候， $a\%n!=0$ , 同于式两边就是消去 $a$ 了。

利用 费马定理 ：

$$\begin{gathered} a\ast x\equiv 1(modp) \\ a\ast x\equiv a^{p-1}(modp) \\ x\equiv a^{p-2}(modp) \end{gathered}$$

无解的情况：如果 $a$ 是 $p$ 的倍数，那么 $p|a\ast x$ 有，$a\ast xmodp=0$，原式不成立。

裴蜀定理

​ 对于任意正整数 $a,b$ ，一定存在整数 $x,y$ ，使得: $ax+by=gcd(a,b)$

​ 可以发现 $(a,b)$ 和 $a和b$ 能凑出来的最小的正整数。

(a-1)*(b-1)-1 是 a和b 不能凑出来的最大的正整数。

裴蜀定理的证明是通过扩展欧几里得算法得到的。

扩展欧几里得算法

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y)// 返回的是gcd(a,b)
{
    
    if(b==0){
    
        // a*x+b*y=gcd(a,b)
        // a + 0 = gcd(a,0) = a
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    /* 递归求解的, b*y+(a%b)*x=gcd(b,a%b)=gcd(a,b) 化简得到 x * a +[y-a/b*x] b = gcd(a,b) a的系数还是x; y-=(a/b*x); */
    int d=extgcd(b,a%b,y,x);//记得翻转 x,y
    y-=a/b*x;
    return d;
}

int main()
{
    
    int n;cin>>n;
    while(n--)
    {
    
        int a,b,x,y;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        int t=extgcd(a,b,x,y);
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}

扩展欧几里得的通解。

$$\begin{gathered} a{x}_0+b{y}_0=d \\ x=x_0-\frac{b}{d}k,k\in z \\ y=y_0+\frac{a}{d}k \end{gathered}$$

扩欧应用，求解线性同余方程

$ax\equiv b(modm)$

$ax-my=b$ ， 方程有解的充要条件 $gcd(a,m)|b$

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    
    if (!b){
    
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}


int main()
{
    
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
    
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);
        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d) puts("impossible");
        else printf("%d\n", (LL)b / d * x % m);
    }
    return 0;
}

在用扩展欧几里得算法求逆元的基础上的 中国剩余定理

设 $m_1,m_2,...,m_n$ 是两两互质 的整数，$M={\prod }_{i=1}^n{m}_i$ ，$M_i=\frac{M}{m_i}$ 。

对于 $n$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_n$ 方程组。
$$\begin{gathered} x\equiv a_1(mod{m}_1) \\ x\equiv a_2(mod{m}_2) \\ ... \\ x\equiv a_n(mod{m}_n) \end{gathered}$$
构造出一组解：$x=a_1\ast M_1\ast M_1^{-1}+a_2\ast M_2\ast M_2^{-1}+...+a_n\ast M_n\ast M_n^{-1}$ 。

​