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math_basic简单不等式组的导出结论

2022-07-16 04:46:00 【xuchaoxin1375】

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简单不等式组的导出结论

0 < a < b (p1) 0<a<b\tag{p1} 0<a<b(p1)

0 < c < d (p2) 0<c<d\tag{p2} 0<c<d(p2)

0 < a c < b d (p3) 0<ac<bd\tag{p3} 0<ac<bd(p3)

  • 可以将a,b分别理解为矩形的长&宽;ab就表示为该矩形的面积
  • cd则表示另一个矩形的面积
  • 在以a为横坐标,b为纵坐标的坐标系上,这一些会看的很清楚

分类讨论 a , b 在不同的取值范围内 , 1 a & 1 b a,b在不同的取值范围内,\frac{1}{a}\&\frac{1}{b} a,b在不同的取值范围内,a1​&b1​的大小关系

作差法构造

  • 构造函数 y = 1 a − 1 b 构造函数y=\frac{1}{a}-\frac{1}{b} 构造函数y=a1​−b1​

  • 则 y = b − a a b 这比原问题要直观的多 , 而且便于讨论 则y=\frac{b-a}{ab}这比原问题要直观的多,而且便于讨论 则y=abb−a​这比原问题要直观的多,而且便于讨论

  • 问题转化讨论a,b在不同范围内,函数y(a,b)和0的大小关系

    • y > 0 , 则 1 a > 1 b * y < 0 , 则 1 a < 1 b 否则 1 a = 1 b y>0,则\frac{1}{a}>\frac{1}{b} \\ \bigstar\\ y<0,则\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b} \\ 否则\frac{1}{a}=\frac{1}{b} y>0,则a1​>b1​*y<0,则a1​<b1​否则a1​=b1​

2大类&4小类情况

  • 不妨假设 a < b ; ( b − a > 0 ) 不妨假设a<b;(b-a>0) 不妨假设a<b;(b−a>0)

    • y = b − a a b ; b − a > 0 则 { y > 0 ; i f   a b > 0 y < 0 ; i f   a b < 0 即 { 1 a − 1 b > 0 ; i f   a b > 0 1 a − 1 b < 0 ; i f   a b < 0 y=\frac{b-a}{ab};b-a>0 \\则 \begin{cases} y>0;if\ ab>0 \\ y<0;if\ ab<0 \\ \end{cases} \\即 \begin{cases} \frac{1}{a}-\frac{1}{b}>0;if\ ab>0 \\ \frac{1}{a}-\frac{1}{b}<0;if\ ab<0 \\ \end{cases} y=abb−a​;b−a>0则{ y>0;if ab>0y<0;if ab<0​即{ a1​−b1​>0;if ab>0a1​−b1​<0;if ab<0​

  • 如果 a > b ; ( b − a < 0 ) : 如果a>b;(b-a<0): 如果a>b;(b−a<0):

    • { 1 a − 1 b > 0 ; i f   a b < 0 1 a − 1 b < 0 ; i f   a b > 0 \begin{cases} \frac{1}{a}-\frac{1}{b}>0;if\ ab<0\\ \frac{1}{a}-\frac{1}{b}<0;if\ ab>0 \end{cases} { a1​−b1​>0;if ab<0a1​−b1​<0;if ab>0​

根据不等式两侧的特征考察抽象出来的函数模型

  • 对于 1 a & 1 b 大小比较 , 可以考察函数 y = 1 x 的函数性态 \frac{1}{a}\&\frac{1}{b}大小比较,可以考察函数y=\frac{1}{x}的函数性态 a1​&b1​大小比较,可以考察函数y=x1​的函数性态
  • 最重要的还是定义于和对应区间内的单调性

小结

  • 1 a > 1 b ; { a b > 0 & a < b a b < 0 & a > b 1 a < 1 b ; { a b > 0 & a > b a b < 0 & a < b \frac{1}{a}>\frac{1}{b}; \begin{cases} ab>0\&a<b \\ ab<0\&a>b \end{cases} \\ \frac{1}{a}<\frac{1}{b}; \begin{cases} ab>0\&a>b \\ ab<0\&a<b \end{cases} a1​>b1​;{ ab>0&a<bab<0&a>b​a1​<b1​;{ ab>0&a>bab<0&a<b​

  • 若有:

0 < a < x < b (a1) 0<a<x<b\tag{a1} 0<a<x<b(a1)

0 < c < y < d (a2) 0<c<y<d\tag{a2} 0<c<y<d(a2)

  • a , x , b a,x,b a,x,b两两同号
    • ax>0
    • ab>0
    • xb>0
  • a<x<b
    • a<x
    • a<b
    • x<b

根据上一节的结论则有.
0 < 1 b < 1 x < 1 a (a3) 0<\frac{1}{b}<\frac{1}{x}<\frac{1}{a}\tag{a3} 0<b1​<x1​<a1​(a3)

  • 再有p系列公式,得到

0 < c a < y x < d b 0<\frac{c}{a}<\frac{y}{x}<\frac{d}{b} 0<ac​<xy​<bd​

常用的比较大小的方法

  • 做差法(通用)
  • 作商(注意符号问题)
  • 构造函数单调性,考察单调性
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