Acwing4405. 统计子矩阵

给定一个 N×M 的矩阵 A，请你统计有多少个子矩阵 (最小 1×1，最大 N×M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K?

输入格式

第一行包含三个整数 N,M 和 K。

之后 N 行每行包含 M 个整数，代表矩阵 A。

输出格式

一个整数代表答案。

数据范围

对于 30% 的数据，N,M≤20，
对于 70% 的数据，N,M≤100，
对于 100% 的数据，1≤N,M≤500;0≤Aij≤1000;1≤K≤250000000。

输入样例：

3 4 10
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

输出样例：

19

样例解释

满足条件的子矩阵一共有 19，包含：

• 大小为 1×1 的有 10 个。
• 大小为 1×2 的有 3 个。
• 大小为 1×3 的有 2 个。
• 大小为 1×4 的有 1 个。
• 大小为 2×1 的有 3 个。

如果直接用 前缀和 + 暴力，复杂度将是O(N^4)，必须优化

优化的方法是：
1）枚举子矩阵的 左边界i 和 右边界j，
2）用 快指针t 枚举 子矩阵的下边界，慢指针s 维护 子矩阵的上边界 (s ≤ t)
3）如果得到的子矩阵的权值和 大于 k，则慢指针s 前进，而子矩阵和必将单调不增
4）慢指针s 继续前进（如图），直到 子矩阵的和 不大于k，慢指针没必要前进了，因为该子矩阵的所有宽度为 j - i + 1 的子矩阵（总共 t - s + 1 种）一定满足要求，更新该情况对答案的贡献 t - s + 1；反之，如果慢指针s越界（s > t），则不操作，直接进入下层循环

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N] , qz[N][N] ,  n , m;
long long int k , sum = 0;
int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
//前缀和表示
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ){
            cin >> a[i][j];
            //a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
            qz[i][j] = a[i][j] + qz[i - 1][j] + qz[i][j - 1] - qz[i - 1][j - 1];
        }
//双指针算法
    for(int i = 1; i <= m; i ++){
        for(int j = i; j <= m; j ++){
            for(int s = 1, t = 1; t <= n; t ++ ){
                while(s <= t && qz[t][j] - qz[s - 1][j] - qz[t][i - 1] + qz[s - 1][i - 1] > k) s ++;
                if(s <= t) sum += t - s + 1;
            }
        }
    }
            
    cout << sum << endl;
    return 0;
}