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高等数学笔记：关于等价无穷小替换的一个猜想

2022-07-17 04:59:00 【繁星依月】

关于等价无穷小替换的一个猜想

对于求极限问题，如果我们通过强行拼凑被加被减项来构造等价无穷小（也就是，多加了给它减掉，多减了给它加上）。然后应用常规的等价无穷小无脑替换（甚至不考虑精度问题）：如果所求得的结果不是 $0$ 或者 $\pm\infty$ ，那么这个结果是正确的。

实际上，当我们应用譬如武忠祥老师给出的极限运算加减法（有条件的无穷小替换）时，通常不会考虑精度控制，或者无形之间可以感到我们进行的替换不会超出精度。这个猜想的灵感也来源于此。

笔者通过多个例题验证，结果都是正确的，这个猜想暂时没有被推翻。下面尝试进行一定的解释。

我们知道，等价无穷小替换的本质是泰勒公式展开式。等价代表了在一定场景下它们的高阶无穷小可以忽略。也就是说，当加减号旁边的项被替换时，如果构成了同号相加（正 + 正/负 + 负），此时高阶无穷小一定不会被抵消，那么精度可以保证。而当构成异号相加（或者也是同号相减），那么此时高阶无穷小可能就被减掉了，但是不同函数的高阶无穷小是不一定相等的。就发生了错误。

而如果我们算得的极限是一个非零任意常数，那么就很有可能从结果上规避了高阶无穷小被消解。因为极限存在且非零意味着分子分母是同阶无穷小，那么分子上函数的高阶无穷小一定也是分母的高阶无穷小，那么高阶无穷小无论怎么运算或者直接舍弃，对结果都无影响。

当然，以上只是做题过程中个人的一点想法，可能结论是错误的。敬请指正。

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