EOJ 2020 1月月赛 E数的变换

传送门

Cuber QQ 正在刷 EOJ 上的水题，他正在做的一道题目是这样的。

给定一个正整数 x ：

如果 x 是奇数的话，则变幻成 x−1 ；
如果 x 是偶数的话，则变幻成 x * 2 。
如此往复地执行这个操作，直到 x 变为 1 。

显然这对于 Cuber QQ 来说过于简单了。于是 Cuber QQ 根据这个发明了一个序列，称为变幻序列， x -变幻序列指的是，从 x 作为变幻的开始，一直变幻到 1 所构成的序列，例如 7 -变幻序列是 {7,6,3,2,1} ； 10 -变幻序列是 {10,5,4,2,1} 。

而现在 Cuber QQ 在纸上写出了所有 1 到 n 变幻序列，他分别统计了每一个数在这些序列中出现的次数，例如当 n=4 的时候，四个序列分别是 [1]={1},[2]={2,1},[3]={3,2,1},[4]={4,2,1} ，则 数 1 出现了 4 次，数 2 出现了 3 次 ，数 3 出现了 1 次 ，数 4 出现了 1 次。

现在 Cuber QQ 想知道最大的数 x 满足 x 在所有 1 到 n 变幻序列中至少出现了 k 次。

输入格式
第一行包含一个整数 T(1≤T≤104) ，表示数据组数。

对于每一组数据包含两个整数 n,k(1≤k≤n≤1018) ，含义如题面所述。

输出格式
对于每一组数据，输出一行一个整数表示答案。

样例
input
4
4 1
4 2
4 3
4 4
output
4
2
2
1

题目中 x -变幻序列的生成方式，在二进制的意义下，无非就是：

• 末尾为 1 ，则变成 0 ;
• 末尾为 0 ，则直接去掉。

对于每个数字 x 来说，它可以由自己变幻一次，也可以由某些更大的数字变幻得到。
简单的来说，当 x 是偶数时，x 会被 x+1 和 2 * x 变幻一次，当 x 是奇数的时候会被 2 * x 变幻一次。

那么，很容易的发现，如果将奇数和偶数独立开来考虑的话，是满足单调性的。
于是我们考虑对奇数和偶数分别二分确定最大值，然后取两者中的较大值作为答案即可。

首先，我们考虑对于每一个k，可以变幻为 x 的 k ∗ x + b 的最大个数。

考虑 x 是∈ [1,n]，所以对于每一个 k，可以变幻为 x 的最大个数：
$$\begin{gathered} x是奇数：min(n-k\ast x,k-1)+1 \\ x是偶数：min(n-k\ast x,2\ast k-1)+1 \end{gathered}$$
那么我们就可以得到递归函数：
二次方增长，应该T不了。

ll sol(ll x,ll k)
{
    
    if(x*k>n)   return 0;
    ll le = n - x*k;
    if(x&1) return min(le,k-1) + 1 + sol(x,k<<1);
    else    return min(le,k*2-1) + 1 + sol(x,k<<1);
}

然后就可以偶数二分，再比较奇数，取最大值即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<map>
#include<queue>
#include<utility>
#include<set>
#include<stack>
#include<string>
#include<vector>
#define ll long long
#define llu unsigned long long
using namespace std;
const int maxn = 100010;
ll n;
ll sol(ll x,ll k)
{
    
    if(x*k>n)   return 0;
    ll le = n - x*k;
    if(x&1) return min(le,k-1) + 1 + sol(x,k<<1);
    else    return min(le,k*2-1) + 1 + sol(x,k<<1);
}
int main(void)
{
    
    int T;
    ll k;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
    
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        ll le = 0,ri = (n+2)>>1;
        ll mid;
        while(ri-le>1){
    
            mid = (le+ri)>>1;
            ll p = sol(mid<<1,1);
            if(p<k)    ri = mid;
            else    le = mid;
        }
        ll lp = sol(le<<1|1,1);
        if(lp>=k)   printf("%lld\n",le<<1|1);
        else    printf("%lld\n",le<<1);
    }
    return 0;
}