李沐d2l(六)---模型选择

一、模型选择

​ 训练误差：模型在训练数据上的误差

​ 泛化误差：模型在新数据上的误差

​ 验证数据集：用来评估模型好坏的数据集

​ 测试数据集：只用一次的数据集

​ K-则交叉验证：在没有足够多数据使用时，可以将训练数据分割成K块，在i = （1，2，… ,k）的循环中，依次想把第i块作为验证数据集，其余的作为训练数据集，最后再报告K个验证集误差的平均。

二、过拟合和欠拟合

​ 模型容量：拟合各种函数的能力；低容量的模型难以拟合训练数据；高容量的模型可以记住所有的训练数据。

​ 下图左边的模型容量就比较低，只能拟合出一条直线，而右边的高容量模型却过于复杂，把噪声都拟合进去了。

​ 模型容量的影响

​ VC维等于一个最大数据集的大小，不管如何给定标号，都存在一个模型俩对它进行完美的分类。

​ 支持N维输入的感知机的VC维是N + 1，一些多层感知机的VC维O(NLog₂ N)

三、代码实现

使用下列三阶多项式来生成训练和测试数据的标签

import math
import numpy as np 
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
import os
os.environ["KMP_DUPLICATE_LIB_OK"]="TRUE"

max_degree = 20 # 特征值
n_train, n_test = 100, 100
true_w = np.zeros(max_degree) 
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6]) # 这个赋值是根据多项式的数据

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
  poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)

labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

# 查看前两个样本
true_w, features, poly_features, labels = [
    torch.tensor(x, dtype=torch.float32)
    for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

# print(features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2])

# 实现一个函数来评估模型在给定数据集上的损失
def evaluate_loss(net, data_iter, loss):
  metric = d2l.Accumulator(2)
  for X, y in data_iter:
    out = net(X)
    y = y.reshape(out.shape)
    l = loss(out, y)
    metric.add(l.sum(), l.numel())
  return metric[0] / metric[1]

# 定义训练函数
def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss()
    input_shape = train_features.shape[-1]
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1, 1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1, 1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(
                net, train_iter, loss), evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

# 三阶多项式函数拟合（正态）
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

d2l.plt.show()
''' weight: [[ 4.982289 1.1968644 -3.388561 5.612971 ]] '''

现在来看欠拟合的情况，只给出两个特征，可以看到最后的误差非常大。

train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])
''' weight: [[3.3086548 5.039875 ]] '''

再来看过拟合，相当于把整个数据都给出来（一大部分噪音也被给出），而一些数据会对结果产生误导性。可以看到train和test之间的gap有明显的增加。